本文利用史密斯圆图作为 RF 阻抗匹配的设计指南。
文中给出了反射系数、阻抗和导纳的
作图范例，并用作图法设计了一个频率为 60MHz 的匹配网络。
实践证明：史密斯圆图仍然是计算传输线阻抗的基本工具。
在处理 RF 系统的实际应用问题时，总会遇到一些非常困难的工作，对各部分级联电路的
不同阻抗进行匹配就是其中之一。一般情况下，需要进行匹配的电路包括天线与低噪声放大
器（LNA）之间的匹配、功率放大器输出（RFOUT）与天线之间的匹配、LNA/VCO 输出与混频
器输入之间的匹配。匹配的目的是为了保证信号或能量有效地从“信号源”传送到“负载”。
在高频端，寄生元件（比如连线上的电感、板层之间的电容和导体的电阻）对匹配网络
具有明显的、不可预知的影响。频率在数十兆赫兹以上时，理论计算和仿真已经远远不能满
足要求，为了得到适当的最终结果，还必须考虑在实验室中进行的 RF 测试、并进行适当调谐。
需要用计算值确定电路的结构类型和相应的目标元件值。
有很多种阻抗匹配的方法，包括:
计算机仿真: 由于这类软件是为不同功能设计的而不只是用于阻抗匹配，所以使用起来
比较复杂。设计者必须熟悉用正确的格式输入众多的数据。设计人员还需要具有从大量的输
出结果中找到有用数据的技能。另外，除非计算机是专门为这个用途制造的，否则电路仿真
软件不可能预装在计算机上。
手工计算: 这是一种极其繁琐的方法，因为需要用到较长（“几公里”）的计算公式、并
且被处理的数据多为复数。
经验: 只有在 RF 领域工作过多年的人才能使用这种方法。总之，它只适合于资深的专家。
史密斯圆图: 本文要重点讨论的内容。
本文的主要目的是复习史密斯圆图的结构和背景知识，并且总结它在实际中的应用方法。
讨论的主题包括参数的实际范例，比如找出匹配网络元件的数值。当然，史密斯圆图不仅能
够为我们找出最大功率传输的匹配网络，还能帮助设计者优化噪声系数，确定品质因数的影
响以及进行稳定性分析。
图 1.阻抗和史密斯圆图基础
基础知识
在介绍史密斯圆图的使用之前，最好回顾一下 RF 环境下（大于 100MHz）IC 连线的电磁
波传播现象。这对 RS-485 传输线、PA 和天线之间的连接、LNA 和下变频器/混频器之间的连
接等应用都是有效的。
大家都知道，要使信号源传送到负载的功率最大，信号源阻抗必须等于负载的共轭阻抗，
即：
Rs + jXs = RL - jXL
图 2.表达式 Rs + jXs = RL - jXL 的等效图
在这个条件下，从信号源到负载传输的能量最大。另外，为有效传输功率，满足这个条
件可以避免能量从负载反射到信号源，尤其是在诸如视频传输、RF 或微波网络的高频应用环
境更是如此。
史密斯圆图
史密斯圆图是由很多圆周交织在一起的一个图。正确的使用它，可以在不作任何计算的
前提下得到一个表面上看非常复杂的系统的匹配阻抗，唯一需要作的就是沿着圆周线读取并
跟踪数据。
史密斯圆图是反射系数（伽马，以符号表示）的极座标图。反射系数也可以从数学上定
义为单端口散射参数，即 s11。
史密斯圆图是通过验证阻抗匹配的负载产生的。这里我们不直接考虑阻抗，而是用反射
系数 L，反射系数可以反映负载的特性（如导纳、增益、跨导），在处理 RF 频率的问题时，L
更加有用。
我们知道反射系数定义为反射波电压与入射波电压之比:
图 3.负载阻抗
负载反射信号的强度取决于信号源阻抗与负载阻抗的失配程度。反射系数的表达式定义
为：
由于阻抗是复数，反射系数也是复数。
为了减少未知参数的数量，可以固化一个经常出现并且在应用中经常使用的参数。这里
Zo（特性阻抗）通常为常数并且是实数，是常用的归一化标准值，如 50、75、100 和 600。
于是我们可以定义归一化的负载阻抗：
据此，将反射系数的公式重新写为：
从上式我们可以看到负载阻抗与其反射系数间的直接关系。但是这个关系式是一个复数，
所以并不实用。我们可以把史密斯圆图当作上述方程的图形表示。
为了建立圆图，方程必需重新整理以符合标准几何图形的形式（如圆或射线）。
首先，由方程 2.3 求解出；
令等式 2.4 的实部与实部相等、虚部和虚部相等，得到两个独立的关系式：
重新整理等式 2.6，经过等式 2.8 至 2.13 得到最终的方程 2.14。这个方程是在复平面(r,
i)上、圆的参数方程 (x-a)2 + (y-b)2
= R2，它以 (r/r+1, 0) 为圆心，半径为 1/1+r.
更多细节参见图 4a
图 4a. 圆周上的点表示具有相同实部的阻抗。
例如，r＝1 的圆，以(0.5,0)为圆心，半径为 0.5。它包含了代表反射零点的原点(0,0)
（负载与特性阻抗相匹配）。以（0，0）为圆心、半径为 1 的圆代表负载短路。负载开路时，
圆退化为一个点（以 1，0 为圆心，半径为零）。与此对应的是最大的反射系数 1，即所有的
入射波都被反射回来。
在作史密斯圆图时，有一些需要注意的问题。下面是最重要的几个方面：
所有的圆周只有一个相同的，唯一的交点(1,0)。
代表 0、也就是没有电阻(r=0)的圆是最大的圆。
无限大的电阻对应的圆退化为一个点（1,0）
实际中没有负的电阻，如果出现负阻值，有可能产生振荡。
选择一个对应于新电阻值的圆周就等于选择了一个新的电阻。
作图
经过等式 2.15 至 2.18 的变换，2.7 式可以推导出另一个参数方程，方程 2
2.19 也是在复平面(r, i)上的圆的参数方程 (x-a)2 + (y-b)2 = R2,它的圆心为
.19。
同样，
(1,1/x)，半径 1/x。
更多细节参见图 4b
图 4b.圆周上的点表示具有相同虚部 x 的阻抗。
例如，x=1 的圆以(1,1)为圆心，半径为 1。所有的圆（x 为常数）都包括点(1,0)。与实
部圆周不同的是，x 既可以是正数也可以是负数。这说明复平面下半部是其上半部的镜像。
所有圆的圆心都在一条经过横轴上 1 点的垂直线上。
完成圆图
为了完成史密斯圆图，我们将两簇圆周放在一起。可以发现一簇圆周的所有圆会与另一
簇圆周的所有圆相交。若已知阻抗为 r+jx，只需要找到对应于 r 和 x 的两个圆周的交点就可
以得到相应的反射系数。
可互换性
上述过程是可逆的，如果已知反射系数，可以找到两个圆周的交点从而读取相应的 r 和
x 的值。过程如下：
确定阻抗在史密斯圆图上的对应点
找到与此阻抗对应的反射系数 ()
已知特性阻抗和，找出阻抗
将阻抗转换为导纳
找出等效的阻抗
找出与反射系数对应的元件值（尤其是匹配网络的元件，见图 7）
推论
因为史密斯圆图是一种基于图形的解法，所得结果的精确度直接依赖于图形的精度。下
面是一个用史密斯圆图表示的 RF 应用实例：
例: 已知特性阻抗为 50，负载阻抗如下：
Z1 = 100 + j50
Z2 = 75 -j100
Z3 = j200
Z4 = 150
Z5 =
(开路)
Z6 = 0 (短路)
Z7 = 50
Z8 = 184 -j900
对上面的值进行归一化并标示在圆图中（见图 5）：
z1 = 2 + j
z2 = 1.5 -j2
z3 = j4
z4 = 3
z5 = 8
z6 = 0
z7 = 1
z8 = 3.68 -j18S
图 5.史密斯圆图上的点
现在可以通过图 5 的圆图直接解出反射系数。画出阻抗点（等阻抗圆和等电抗圆的交点），
只要读出它们在直角坐标水平轴和垂直轴上的投影，就得到了反射系数的实部 r 和虚部 i（见
图 6）。
该范例中可能存在八种情况，在图 6 所示史密斯圆图上可以直接得到对应的反射系数：
1 = 0.4 + 0.2j
2 = 0.51 - 0.4j
3 = 0.875 + 0.48j
4 = 0.5
5 = 1
6 = -1
7 = 0
8 = 0.96 - 0.1j
图 6.从 X-Y 轴直接读出反射系数的实部和虚部
求解等效阻抗
当解决同时存在串联和并联元件的混合电路时，可以使用同一个史密斯圆图，在需要进
行从 z 到 y 或从 y 到 z 的转换时将图形旋转。
考虑图 8 所示网络（其中的元件以 Zo=50 进行了归一化）。串联电抗(x)对电感元件而言
为正数，对电容元件而言为负数。而电纳(b)对电容元件而言为正数，对电感元件而言为负数。
图 8.一个多元件电路
这个电路需要进行简化（见图 9）。从最右边开始，有一个电阻和一个电感，数值都是 1，
我们可以在 r＝1 的圆周和 l＝1 的圆周的交点处得到一个串联等效点，即点 A。下一个元件
是并联元件，我们转到导纳圆图（将整个平面旋转 180°），此时需要将前面的那个点变成导
纳，记为 A'。现在我们将平面旋转 180°，于是我们在导纳模式下加入并联元件，沿着电导
圆逆时针方向（负值）移动距离 0.3，得到点 B。然后又是一个串联元件。现在我们再回到阻
抗圆图。
图 9.将图 8 网络中的元件拆开进行分析
在返回阻抗圆图之前，还必需把刚才的点转换成阻抗（此前是导纳），变换之后得到的点
记为 B'，用上述方法，将圆图旋转 180°回到阻抗模式。沿着电阻圆周移动距离 1.4 得到点
C 就增加了一个串联元件，注意是逆时针移动（负值）。进行同样的操作可增加下一个元件（进
行平面旋转变换到导纳），沿着等电导圆顺时针方向（因为是正值）移动指定的距离（1.1）。
这个点记为 D。最后，我们回到阻抗模式增加最后一个元件（串联电感）。于是我们得到所需
的值，z，位于 0.2 电阻圆和 0.5 电抗圆的交点。至此，得出 z＝0.2+j0.5。如果系统的特性
阻抗是 50,有 Z = 10 + j25 (见图 10).
图 10.在史密斯圆图上画出的网络元件
逐步进行阻抗匹配
史密斯圆图的另一个用处是进行阻抗匹配。这和找出一个已知网络的等效阻抗是相反的
过程。此时，两端（通常是信号源和负载）阻抗是固定的，如图 12 所示。我们的目标是在两
者之间插入一个设计好的网络已达到合适的阻抗匹配。
图 11.阻抗已知而元件未知的典型电路
初看起来好像并不比找到等效阻抗复杂。但是问题在于有无限种元件的组合都可以使匹
配网络具有类似的效果，而且还需考虑其它因素（比如滤波器的结构类型、品质因数和有限
的可选元件）。
实现这一目标的方法是在史密斯圆图上不断增加串联和并联元件、直到得到我们想要的
阻抗。从图形上看，就是找到一条途径来连接史密斯圆图上的点。同样，说明这种方法的最
好办法是给出一个实例。
我们的目标是在 60MHz 工作频率下匹配源阻抗(ZS)和负载阻抗(ZL)（见图 12）。网络结
构已经确定为低通，L 型（也可以把问题看作是如何使负载转变成数值等于 ZS 的阻抗，即 ZS
复共轭）。下面是解的过程：
图 12、图 11 的网络，将其对应的点画在史密斯圆图上
要做的第一件事是将各阻抗值归一化。如果没有给出特性阻抗，选择一个与负载/信号源
的数值在同一量级的阻抗值。假设 Zo 为 50。于是 zS = 0.5
-j0.3, z*S = 0.5 + j0.3, ZL = 2 -j0.5。
下一步，在图上标出这两个点，A 代表 zL，D 代表 Z*S
然后判别与负载连接的第一个元件（并联电容），先把 zL 转化为导纳，得到点 A'。
确定连接电容 C 后下一个点出现在圆弧上的位置。由于不知道 C 的值，所以我们不知道
具体的位置，然而我们确实知道移动的方向。并联的电容应该在导纳圆图上沿顺时针方向移
动、直到找到对应的数值，得到点 B（导纳）。下一个元件是串联元件，所以必需把 B 转换到
阻抗平面上去，得到 B'。B'必需和 D 位于同一个电阻圆上。从图形上看，从 A'到 D 只有一条
路径，但是如果要经过中间的 B 点（也就是 B'），就需要经过多次的尝试和检验。在找到点 B
和 B'后，我们就能够测量 A'到 B 和 B'到 D 的弧长，前者就是 C 的归一化电纳值，后者为 L
的归一化电抗值。A'到 B 的弧长为 b=0.78，则 B=0.78×Yo=0.0156 姆欧。因为 C
= B,所以 C = B/ = B/(2 f) = 0.0156/(2 607) = 41.4pF。B 到 D 的弧长为 x = 1.2,
于是 X =
1.2 × Zo = 60.由 L = X, 得 L = X/ = X/(2 f) = 60/(2 607) = 159nH。
总结
在拥有功能强大的软件和高速、高性能计算机的今天，人们会怀疑在解决电路基本问题
的时候是否还需要这样一种基础和初级的方法。
实际上，一个真正的工程师不仅应该拥有理论知识，更应该具有利用各种资源解决问题
的能力。在程序中加入几个数字然后得出结果的确是件容易的事情，当问题的解十分复杂、
并且不唯一时，让计算机作这样的工作尤其方便。然而，如果能够理解计算机的工作平台所
使用的基本理论和原理，知道它们的由来，这样的工程师或设计者就能够成为更加全面和值
得信赖的专家，得到的结果也更加可靠。