进制数及转换详解

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简介: 数制的概念  数制是人们利用符号进行计数的科学方法。数制有很多种,在计算机中常用的数制有:十进制,二进制和十六进制。
  数制也称计数制,是指用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。计算机是信息处理的工具,任何信息必须转换成二进制形式数据后才能由计算机进行处理,存储和传输。

数制的概念数制是人们利用符号进行计数的科学方法。数制有很多种,在计算机中常用的数制有:十进制,二进制和十六进制。

数制也称计数制,是指用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。计算机是信息处理的工具,任何信息必须转换成二进制形式数据后才能由计算机进行处理,存储和传输。

十进制数(Decimal)

人们通常使用的是十进制。它的特点有两个:有0,1,2….9十个基本数字组成,十进制数运算是按“逢十进一”的规则进行的.

在计算机中,除了十进制数外,经常使用的数制还有二进制数和十六进制数.在运算中它们分别遵循的是逢二进一和逢十六进一的法则.

二进制数(Binary)

二进制数有两个特点:它由两个基本数字0,1组成,二进制数运算规律是逢二进一。

为区别于其它进制数,二进制数的书写通常在数的右下方注上基数2,或加后面加B表示。

例如:二进制数10110011可以写成(10110011)2,或写成10110011B,对于十进制数可以不加注.计算机中的数据均采用二进制数表示,这是因为二进制数具有以下特点:

1) 二进制数中只有两个字符0和1,表示具有两个不同稳定状态的元器件。例如,电路中有,无电流,有电流用1表示,无电流用0表示。类似的还比如电路中电压的高,低,晶体管的导通和截止等。

2) 二进制数运算简单,大大简化了计算中运算部件的结构。

二进制数的加法和乘法运算如下:

0+0=0 0+1=1+0=1 1+1=10

0×0=0 0×1=1×0=0 1×1=1

八进制数(Octal)

由于二进制数据的基R较小,所以二进制数据的书写和阅读不方便,为此,在小型机中引入了八进制。八进制的基R=8=2^3,有数码0、1、2、3、4、5、6、7,并且每个数码正好对应三位二进制数,所以八进制能很好地反映二进制。八进制用下标8或数据后面加Q表示 例如:二进制数据 ( 11 101 010 . 010 110 100 )2 对应 八进制数据 ( 3 5 2 . 2 6 4 )8或352.264Q.

十六进制数(Hex)

由于二进制数在使用中位数太长,不容易记忆,所以又提出了十六进制数

十六进制数有两个基本特点:它由十六个字符0~9以及A,B,C,D,E,F组成(它们分别表示十进制数10~15),十六进制数运算规律是逢十六进一,即基R=16=2^4,通常在表示时用尾部标志H或下标16以示区别。

例如:十六进制数4AC8可写成(4AC8)16,或写成4AC8H。

数的位权概念

对于形式化的进制表示,我们可以从0开始,对数字的各个数位进行编号,即个位起往左依次为编号0,1,2,……;对称的,从小数点后的数位则是-1,-2,……

进行进制转换时,我们不妨设源进制(转换前所用进制)的基为R1,目标进制(转换后所用进制)的基为R2,原数值的表示按数位为AnA(n-1)……A2A1A0.A-1A-2……,R1在R2中的表示为R,则有(AnA(n-1)……A2A1A0.A-1A-2……)R1=(An*R^n+A(n-1)*R^(n-1)+……+A2*R^2+A1*R^1+A0*R^0+A-1*R^(-1)+A-2*R^(-2))R2

(由于此处不可选择字体,说明如下:An,A2,A-1等符号中,n,2,-1等均应改为下标,而上标的幂次均用^作为前缀)

举例:

一个十进制数110,其中百位上的1表示1个10^2,既100,十位的1表示1个10^1,即10,个位的0表示0个100,即0。

一个二进制数110,其中高位的1表示1个2^2,即4,低位的1表示1个2^1,即2,最低位的0表示0个2^0,即0。

一个十六进制数110,其中高位的1表示1个16^2,即256,低位的1表示1个16^1,即16,最低位的0表示0个16^0,即0。

可见,在数制中,各位数字所表示值的大小不仅与该数字本身的大小有关,还与该数字所在的位置有关,我们称这关系为数的位权。

十进制数的位权是以10为底的幂,二进制数的位权是以2为底的幂,十六进制数的位权是以16为底的幂。数位由高向低,以降幂的方式排列。

进数制之间的转换

1.二进制数、十六进制数转换为十进制数(按权求和)

二进制数、十六进制数转换为十进制数的规律是相同的。把二进制数(或十六进制数)按位权形式展开多项式和的形式,求其最后的和,就是其对应的十进制数——简称“按权求和”.

例如:把(1001.01)2转换为十进制数。

解:(1001.01)2

=1*8+4*0+2*0+1*1+0*(1/2)+1*(1/4)

=8+0+0+1+0+0.25

=9.25

把(38A.11)16转换为十进制数

解:(38A.11)16

=3×16的2次方+8×16的1次方+10×16的0次方+1×16的-1次方+1×16的-2次方

=768+128+10+0.0625+0.0039

=906.0664

2.十进制数转换为二进制数,十六进制数(除2/16取余法)

整数转换.一个十进制整数转换为二进制整数通常采用除二取余法,即用2连续除十进制数,直到商为0,逆序排列余数即可得到――简称除二取余法.

例:将25转换为二进制数

解:25&pide;2=12 余数1

12&pide;2=6 余数0

6&pide;2=3 余数0

3&pide;2=1 余数1

1&pide;2=0 余数1

所以25=(11001)2

同理,把十进制数转换为十六进制数时,将基数2转换成16就可以了.

例:将25转换为十六进制数

解:25&pide;16=1 余数9

1&pide;16=0 余数1

所以25=(19)16

3.二进制数与十六进制数之间的转换

由于4位二进制数恰好有16个组合状态,即1位十六进制数与4位二进制数是一一对应的.所以,十六进制数与二进制数的转换是十分简单的.

(1)十六进制数转换成二进制数,只要将每一位十六进制数用对应的4位二进制数替代即可――简称位分四位.

例:将(4AF8B)16转换为二进制数.

解: 4 A F 8 B

0100 1010 1111 1000 1011

所以(4AF8B)16=(1001010111110001011)2

(2)二进制数转换为十六进制数,分别向左,向右每四位一组,依次写出每组4位二进制数所对应的十六进制数――简称四位合一位.

例:将二进制数(000111010110)2转换为十六进制数.

解: 0001 1101 0110

1 D 6

所以(111010110)2=(1D6)16

转换时注意最后一组不足4位时必须加0补齐4位

数制转换的一般化

1)R进制转换成十进制

任意R进制数据按权展开、相加即可得十进制数据。 例如:N = 1101.0101B = 1*2^3+1*2^2+0*21+1*2^0+0*2^-1+1*2^-2+0*2^-3+1*2^-4 = 8+4+0+1+0+0.25+0+0.0625 = 13.3125

N = 5A.8 H = 5*161+A*160+8*16-1 = 80+10+0.5 = 90.5

2)十进制转换R 进制

十进制数转换成R 进制数,须将整数部分和小数部分分别转换.

1.整数转换----除R 取余法 规则:(1)用R 去除给出的十进制数的整数部分,取其余数作为转换后的R 进制数据的整数部分最低位数字; (2)再用2去除所得的商,取其余数作为转换后的R 进制数据的高一位数字; (3)重复执行(2)操作,一直到商为0结束。 例如: 115 转换成 Binary数据和Hexadecimal数据 (图2-4) 所以 115 = 1110011 B = 73 H

2.小数转换-----乘R 取整法 规则:(1)用R 去除给出的十进制数的小数部分,取乘积的整数部分作为转换后R 进制小数点后第一位数字; (2)再用R 去乘上一步乘积的小数部分,然后取新乘积的整数部分作为转换后R 进制小数的低一位数字; (3)重复(2)操作,一直到乘积为0,或已得到要求精度数位为止。

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